【数学之美】你知道一根绳子有多长吗？
2020-12-04 10:04:22
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如果给你一根绳子，问你这根绳子有多长，你会怎么做？
这似乎是个再简单不过的问题。把绳子拉直，用尺子从一头量到另一头。
好了，结果已经出来了。
但量出来的数值真的就是这根绳子的长度吗？答案远没有这么简单。
英国广播公司BBC在2009年专门拍摄了一部纪录片《一根绳子有多长？》，主持人艾伦戴维斯在五金店买了一根绳子，五金店老板为他量了一下绳子的长度，32厘米。很显然这不是艾伦想要的数字。于是，艾伦开始了测量一根绳子真正长度的神奇旅程。
尺子量出来的数值不准，所有人都能意识到。刻度精度、印刷误差等都会影响到测量的准确性。只是我们生活中不需要那么高的精度，所以往往会忽视掉这些误差。
如果让你说出如何测量这根绳子最精准长度的方法，你会想到什么？
你知道光的速度吗？
答案是299,792,458米/秒。
也就是说1/299792458秒光行走的距离正好是1米。因此，理论上用光来测这根绳子的长度，应该是个好办法。
艾伦戴维斯在数学家马科斯桑托伊的带领下来到了国家物理研究所，在专业人员的操作下，通过全自动激光跟踪器测得这根绳子有319毫米又442微米，即 319.442毫米。
好的，我们以光速来衡量绳子的距离，得到了想要的数字，真是非常skr了，旅程到此结束。
但数学家马科斯并没有满意，他认为这仍然不是想要的结果。
马科斯举了一个例子，在地图上测量一条海岸线的长度，如果用尺子测量，距离是一个数字。如果用绳子测量，这个距离会变长。
因为尺子是直的，不能弯曲，用来测量地图的海岸线则将会忽略海岸线的曲折，绳子相对尺子而言可以弯曲，但是仍然不够精确。每种测量工具都能有效放大海岸线的各个细节，这会呈现出更多的迂回曲折，测量工具揭示的细节越多，长度也就越长。
马科斯认为绳子的情况也是一样的，一根绳子，并不是平滑的绳子，它上面有许多褶皱。越仔细观察，褶皱就越多。 因此，这根绳子到底多长，取决于测量工具的准确程度。
马科斯带艾伦来到了沙滩上，并在沙滩上画起了三角形。
等等，有没有觉得很眼熟？
没错，就是我们上次在《分形——发现隐藏的维度》一文中提到的科克曲线。
还记得那篇文章中如何介绍科克曲线的吗？由于科克曲线每一个边都是自身形状的无数次重复，因此科克曲线的周长是无限长的。
如果这根绳子也能够无限放大，绳子上面出现的褶皱就会无限多。因此得出，绳子的长度是无限长的。
所以说，这根绳子是无限长的？
当看到这里时，艾伦和我们的脑子一样，已经全部都是问号。
当然这只是数学的假设。截至目前，这根绳子的长度仍然是319.442毫米。现在的测量单位是毫米，如果能够用尽可能小的测量单位去测量这根绳子，会不会测量出新的长度。用什么测量单位，微米，还是纳米？
最终，艾伦决定用“原子”来测量这根绳子。
艾伦找到了物理老师贝基兰顿，希望能测量出这根绳子有多少个原子长。
没想到的是，当你想用原子的精细度去测量这根绳子的时候，一切都变得不一样了。
首先，在量子世界中，每个粒子可以同时出现在两个甚至多个不同的地方。虽然听上去有些荒唐，但这就是量子力学世界中真实存在的。
这也就意味着，绳子中的粒子位置是不确定的，所以你永远不知道绳子两头的端点到底在哪里。
为了证实粒子可以同时出现在两个地方，艾伦来到了伦敦帝国理工学院，再次用围绕在我们身边的东西“光”说明这一现象。
当激光穿过一个有两条细缝的板子时，会在墙上投影出条纹一样的光带。因为光是一种波，光波通过两条细缝时，会变成两组光波，光波会彼此干扰，相互叠加的部分产生明亮的光带，相互抵消的部分只有阴影，这叫干涉图像。这个图像想要说明的是，光会在同一时间穿过两个细缝。
如果将光换成单个的粒子，每次只发射一粒光子穿过有两条细缝的板子，神奇的事情发生了。当把多次发射后墙上投影出来的图案放在一起时，同样出了条纹一样的光带。
如果要出现这样条纹一样的光带，光子必须同时通过两条裂缝才行才能产生干涉图像，也就是说一粒光子同时出现在了两个地方。
回到测量绳子的问题上，对于宏观世界的物体，位置是有意义的。但是在量子世界，绳子中的粒子会同时在好几个地方，也就是说绳子同时会有很多不同的长度。
又或者说，绳子实际上是不具有长度的，直到通过某种方式去测量时，长度才被创造出来了。从某种程度上来说，除非我们观察这根绳子，否则这根绳子甚至是不存在的，是观察的行为让事物变得真实。
到此，艾伦已经被彻底搞糊涂了。
难道319.442毫米就是这根绳子所能测量出来的最高精度？
显然不是，虽然量子力学中有不确定的特性，但仍然是测量长度的最好方法。
通过计算光波行进的路程，就可以把绳子长度的精确到百万分之一米。如果使用将光波的波长压缩到一半，测量的精度就可以提升一倍。只要把足够多的能量放进光子，提升波长的频率，几乎可以实现绳子长度的任意精度。
但是毫无疑问，这个精度的尽头是哪里，总会一个问题在等着我们。
光子上下摆动的速度越快，光子就要得到越多的能量。但是爱因斯坦告诉我们，能量产生重力，重力是有极限的，一旦超过极限，或许会产生黑洞。
当艾伦听到测量绳子长度会产生黑洞这个结论的时候，内心已经崩溃了。
到此，艾伦绳子长度测量的探索之旅就结束了。
数学家告诉我们，这根绳子的长度是无限长的，物理学家告诉我们，这根绳子同时有多个长度，或者没有长度。
或许我们一开始以为，这趟旅程只不过是找一些科学家，将这根绳子放在各种先进的测量仪器上，只需片刻，就能测量出不同精度的长度，并不非花费太长的时间和太多的精力。
但事实上，测量绳子长度这件小事，想要追求极致的精确计算却极其困难，甚至做不到。所有的度量单位，不过只是近似于真正的标准值而已。
我们追求极致的过程，其实已经成为了一个哲学旅程。
至于我们最初的问题，这根绳子有多长？好像已经不那么重要了。
五金店老板量出的长度，32厘米，不就很好嘛。
如果你想要了解到关于这趟绳子长度探索之旅更多的细节，欢迎点击下面的链接，观看这部纪录片。
视频链接：一根绳子有多长？
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